천체 역학의 수치적 방법

천체의 운동방정식을 풀기 위해 상미분방정식의 수치이론을 적용하는 방법. 천체역학의 3대 기본법으로 분석법, 정성법과 함께 나열한다. 천체 역학의 수치적 방법은 종종 특수 교란 방법이라고 합니다. 전통적인 분석 방법으로는 혜성과 소행성의 운동을 연구하기가 어렵습니다. 이러한 작은 천체의 궤도 이심률과 기울기는 종종 상대적으로 크기 때문에 전통적인 방법으로 시리즈 확장을 위한 작은 매개변수로 간주할 수 없습니다(섭동 이론 참조). 명왕성 궤도 의 큰 이심률은 또한 명왕성의 운동을 연구하는 것을 어렵게 만듭니다.

 

개요
따라서 이를 해결하기 위해서는 수치적 방법이 필요하다. 인공위성이 발사된 후 수치적 방법은 인공 천체의 궤도를 설계하고 정확하게 결정하는 주요 수단이 되었습니다. 최근 몇 년 동안 이 방법은 작은 항성계의 운동 및 다체 문제와 같은 주제를 연구하는 데에도 사용되었습니다. 수치해석법은 해석법에 비해 적용범위가 넓고 계산식이 간단하며 정확도가 높아 널리 사용되는 장점이 있다. 분명히, 단계 크기가 작을수록 더 많은 계산 시간이 걸립니다. 천체 역학의 수치적 방법은 가우스 의 작업 방법 으로 거슬러 올라갈 수 있습니다 . 19세기 말에 형성된 Kewell법과 Adams법은 여전히 ​​천체역학의 기본적인 수치법이지만 전자컴퓨터가 등장하기 전에는 널리 사용되지 않았다.

 

일반적으로 사용되는 수치 방법
20세기 초에 Cowell과 Clomelin 은 수치적 방법을 성공적으로 사용하여 Halley's Comet 의 운동을 연구했습니다 . 그들이 사용한 방법을 Cowell 방법이라고 합니다. Cowell et al.은 천체의 데카르트 좌표를 변수로 사용하여 다른 천체의 중력 작용에 따른 천체의 운동을 고려하고 운동 방정식을 나열했습니다. -차수가 아닌 차수 미분 방정식 시스템, 오른쪽에 있는 함수 f는 속도 d/dt를 포함하지 않습니다. Cowell 방법은 다물체 문제에 대한 수치적 해를 찾는 주요 방법입니다. 1950년대에 Brouwer, Clemens 및 Eckert는 Kewell 방법을 사용하여 목성, 토성, 천왕성, 해왕성 및 명왕성의 수치 천체력을 전자 컴퓨터에 설정하여 수치적 방법의 수치적 천체력을 보여줍니다.
단주기 혜성 의 좌표는 빠르게 변하고, 계단 크기가 클 수 없고, 계산 시간이 많이 걸린다. Enke는 천체의 직교 좌표의 섭동을 변수로 사용할 것을 제안했습니다. 이 변수는 천천히 변하고 단계 크기가 매우 클 수 있지만 계산 프로세스가 Cowell 방법보다 훨씬 복잡합니다. 섭동을 변수로 하는 방법을 엔크(Enck) 방법이라고 하며, 단주기 혜성과 달 로켓의 궤도를 계산하는 데 자주 사용됩니다.
인공위성 궤도 연구에서 궤도 요소는 종종 변수로 사용되는데 , 이것은 다물체 문제에 대한 운동방정식의 특성을 가지지 않는 1계 상미분방정식의 체계이다. 문제의 경우 수치 이론의 일반적인 상미분 방정식 Adams 방법 또는 Runge-Kutta 방법을 적용할 수 있습니다.

 

 

수치적 방법에 대한 품질 기준
수치 방법의 품질을 평가하는 중요한 기준은 오류, 안정성 및 계산 작업량입니다. 오류가 작을수록 안정성이 강하고 계산 작업량이 적을수록 더 나은 방법입니다. 수치적으로 계산을 수행할 때 발생하는 오류는 잘림 오류와 반올림 오류의 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다. 절단오차는 수치적 방법으로 계산한 결과와 원래의 미분방정식의 해의 차이에서 오는 것으로, 절단오차가 작을수록 정확도가 높다. 반올림 오류는 계산 중 숫자를 반올림하여 발생합니다. 두 종류의 오류는 일반적으로 단계별 계산 과정에서 누적되고 확장되며 누적 법칙이 복잡하고 아직 완전히 해명되지 않았습니다. Brouwer는 천체의 직교좌표를 Cowell 방식으로 계산할 때 반올림 오차의 누적에 대해 논의한 결과, 반올림 오차가 대략 계산 단계 수의 3/2 정도 누적된다는 결론을 내렸습니다.

수치적 방법을 판단하는 안정성은 계산의 특정 단계에서 발생하는 오차가 다음의 단계별 계산 과정에서 어떻게 전달되는지, 전달 과정에서 항상 경계를 유지하며 증가하는지, 아니면 급격하게 증가하여 결과의 유효 자릿수입니다. 안정성은 계단 크기와 관련이 있으며 계단 크기가 클수록 안정성이 나빠집니다. 고정밀 방법은 사용하기에는 너무 약합니다.
계산 노력은 단계 크기와 단계당 계산 시간에 따라 다릅니다. 전자 컴퓨터로 계산할 때 후자는 주로 각 단계에서 미분 방정식의 오른쪽에 있는 함수가 계산되는 횟수에 따라 달라집니다.
높은 정밀도, 강력한 안정성 및 낮은 계산 작업량의 장점을 결합한 수치 방법을 선택하는 것은 매우 어렵습니다. 이러한 표준에 따른 다양한 기존 수치 방법의 평가 및 계산은 Kewell 방법 또는 Adams 방법이 계산 시간을 절약하기 위해 고정밀 요구 사항 또는 긴 통합 시간이 필요한 천체 역학 작업에 사용해야 하는 반면 Runge-Kutta 방법은 다음과 같이 할 수 있음을 보여줍니다. 원조. 정밀도 요구 사항이 낮고 통합 시간이 짧은 작업의 경우 위의 방법을 사용할 수 있습니다.


새로운 수치 방법
최근 몇 년 동안 천체 역학의 몇 가지 특수한 문제에 대해 몇 가지 새로운 수치적 방법과 새로운 연구 주제가 제안되었습니다. 제한 사항 삼체 문제가 성공적으로 해결되었으며, 천체 운동 미분방정식을 푸는 수치적 방법이 있는데, 이는 삼각 계열의 독립 변수 또는 삼각 계열과 거듭제곱 계열을 혼합하여 설정한 수치적 방법입니다. 수치적 방법이기도 한 안정화 기법이라고 하며, 이 기법을 연구하는 목적은 운동 미분방정식의 형태를 변형하여 안정성을 높이는 것이다.

인공위성의 작동은 자연 천체의 작동보다 훨씬 빠르며 수십 바퀴와 수백 바퀴의 수치 적분을 필요로 합니다. 성단의 다체 문제에는 수백 또는 수천 개의 입자가 포함됩니다. 이 모든 것은 천체 역학의 수치적 방법에 대한 새로운 요구 사항과 주제를 제시합니다.